Naked Statistics este cea mai interesantă carte despre cea mai plictisitoare știință

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 04:09

Cine a spus că statistica este o știință plictisitoare și inutilă? Charles Wheelan susține în mod convingător că acest lucru este departe de a fi cazul. Astăzi publicăm un fragment din cartea sa despre cum să câștigi o mașină, nu o capră, folosind statistici și înțelegem că intuiția te poate induce în eroare.

Ghicitoarea Monty Hall

Misterul Monty Hall este o problemă faimoasă în teoria probabilității care a derutat participanții la o emisiune numită Let’s Make a Deal, încă populară în mai multe țări, care a avut premiera în Statele Unite în 1963. (Îmi amintesc de fiecare dată când am urmărit această emisiune în copilărie, când nu mergeam la școală din cauza unei boli.) În introducerea cărții, am subliniat deja că această emisiune de jocuri poate fi interesantă pentru statisticieni. La sfârșitul fiecăreia dintre edițiile sale, participantul care a ajuns în finală a stat cu Monty Hall în fața a trei uși mari: Ușa nr. 1, Ușa nr. 2 și Ușa nr. 3. Monty Hall i-a explicat finalistului că în spatele uneia dintre aceste uși a fost un premiu foarte valoros - de exemplu o mașină nouă și o capră în spatele celorlalte două. Finalistul a trebuit să aleagă una dintre uși și să obțină ce era în spatele ei. (Nu știu dacă a existat cel puțin o persoană printre participanții la spectacol care a vrut să obțină o capră, dar de dragul simplității, vom presupune că marea majoritate a participanților au visat la o mașină nouă.)

Probabilitatea inițială de câștig este destul de ușor de determinat. Sunt trei uși, două ascund o capră, iar a treia ascunde o mașină. Când un participant la spectacol stă în fața acestor uși cu Monty Hall, el are una din trei șanse să aleagă ușa în spatele căreia se află mașina. Dar, după cum s-a menționat mai sus, există o captură în Let’s Make a Deal care a imortalizat acest program TV și prezentatorul său în literatura despre teoria probabilității. După ce finalista spectacolului arată una dintre cele trei uși, Monty Hall deschide una dintre cele două uși rămase, în spatele căreia se află întotdeauna o capră. Apoi Monty Hall îl întreabă pe finalist dacă vrea să se răzgândească, adică să abandoneze ușa închisă selectată anterior în favoarea unei alte uși închise.

Să spunem, de dragul exemplului, că participantul a arătat spre Ușa # 1. Apoi Monty Hall a deschis Ușa # 3, în spatele căreia se ascundea capra. Două uși, Ușa #1 și Ușa #2, rămân închise. Dacă premiul valoros ar fi fost în spatele Ușii nr. 1, finalistul l-ar fi câștigat, iar dacă ar fi fost în spatele Ușii nr. 2, atunci ar fi pierdut. În acest moment, Monty Hall îl întreabă pe jucător dacă dorește să-și schimbe alegerea inițială (în acest caz, abandonați Ușa # 1 în favoarea Ușii # 2). Vă veți aminti, desigur, că ambele uși sunt încă închise. Singura informație nouă primită de participant a fost că capra a ajuns în spatele uneia dintre cele două uși pe care nu le-a ales.

Finalistul ar trebui să renunțe la alegerea inițială în favoarea Ușii #2?

Răspund: da, ar trebui. Dacă rămâne la alegerea inițială, atunci probabilitatea de a câștiga un premiu valoros va fi ⅓; dacă se răzgândește și arată spre Ușa nr. 2, atunci probabilitatea de a câștiga un premiu valoros va fi ⅔. Dacă nu mă crezi, citește mai departe.

Recunosc că acest răspuns este departe de a fi evident la prima vedere. Se pare că oricare dintre cele două uși rămase alege finalistul, probabilitatea de a primi un premiu valoros în ambele cazuri este ⅓. Sunt trei uși închise. La început, probabilitatea ca un premiu valoros să fie ascuns în spatele oricăruia dintre ele este ⅓. Are vreo diferență decizia finalistului de a-și schimba alegerea în favoarea unei alte uși închise?

Desigur, din moment ce problema este că Monty Hall știe ce se află în spatele fiecărei uși. Dacă finalistul alege Ușa # 1 și există într-adevăr o mașină în spatele ei, Monty Hall poate deschide fie Ușa # 2, fie Ușa # 3 pentru a dezvălui țapul care pândește în spatele ei.

Dacă finalistul selectează Ușa 1 și mașina se află în spatele Ușii 2, atunci Monty Hall va deschide Ușa 3.

Dacă finalistul arată spre Ușa 1 și mașina se află în spatele Ușii 3, atunci Monty Hall va deschide Ușa 2.

Răzgândindu-se după ce prezentatorul deschide una dintre uși, finalistul câștigă avantajul de a alege două uși în loc de una. Voi încerca să vă conving de corectitudinea acestei analize în trei moduri diferite.

Primul este empiric. În 2008, editorialistul New York Times John Tyerney a scris despre Fenomenul Monty Hall. După aceea, personalul publicației a dezvoltat un program interactiv care vă permite să jucați acest joc și să decideți în mod independent dacă vă schimbați sau nu alegerea inițială. (Programul prevede chiar și caprețe și mașini care apar din spatele ușilor.) Programul vă înregistrează câștigurile în cazul în care vă schimbați alegerea inițială și în cazul în care rămâneți neconvins. Am plătit una dintre fiicele mele să joace acest joc de 100 de ori, schimbându-i de fiecare dată alegerea inițială. L-am plătit și pe fratele ei să joace jocul de 100 de ori, păstrând de fiecare dată decizia inițială. Fiica a câștigat de 72 de ori; fratele ei de 33 de ori. Fiecare efort a fost recompensat cu doi dolari.

Dovezile din episoadele jocului Let’s Make a Deal arată același model. Potrivit lui Leonard Mlodinov, autorul cărții The Drunkard's Walk, acei finaliști care și-au schimbat alegerea inițială au avut de aproximativ două ori mai multe șanse să câștige decât cei care nu erau convinși.

A doua mea explicație pentru acest fenomen se bazează pe intuiție. Să presupunem că regulile jocului s-au schimbat ușor. De exemplu, finalistul începe prin a alege una dintre cele trei uși: Ușa # 1, Ușa # 2 și Ușa # 3, așa cum a fost planificat inițial. Totuși, atunci, înainte de a deschide oricare dintre ușile, în spatele căreia se ascunde capra, Monty Hall întreabă: „Sunteți de acord să renunțați la alegerea dvs. în schimbul deschiderii celor două uși rămase?” Deci, dacă ați ales Ușa # 1, vă puteți răzgândi în favoarea Ușii # 2 și Ușa # 3. Dacă ați indicat mai întâi spre Ușa # 3, puteți selecta Ușa # 1 și Ușa # 2. Și așa mai departe.

Aceasta nu ar fi o decizie deosebit de dificilă pentru tine: este destul de evident că ar trebui să renunți la alegerea inițială în favoarea celor două uși rămase, deoarece acest lucru crește șansele de câștig de la ⅓ la ⅔. Cel mai interesant lucru este că acesta este, în esență, ceea ce Monty Hall îți oferă într-un joc adevărat, după ce ai deschis ușa în spatele căreia se ascunde capra. Faptul fundamental este că, dacă ți s-ar oferi posibilitatea de a alege două uși, în spatele uneia dintre ele s-ar ascunde oricum o capră. Când Monty Hall deschide ușa în spatele căreia se află capra și abia apoi te întreabă dacă ești de acord să-ți schimbi alegerea inițială, îți crește semnificativ șansele de a câștiga un premiu valoros! Practic, Monty Hall îți spune: „Șansele ca un premiu valoros să se ascundă în spatele uneia dintre cele două uși pe care nu le-ai ales prima dată sunt ⅔, adică mai mult de ⅓!”

Vă puteți imagina așa. Să presupunem că ați indicat spre Ușa # 1. După aceea, Monty Hall vă oferă posibilitatea de a abandona decizia inițială în favoarea Ușii # 2 și Ușii # 3. Sunteți de acord și aveți două uși la dispoziție, ceea ce înseamnă că aveți toate motivele așteaptă-te să câștigi un premiu valoros cu o probabilitate de ⅔, nu ⅓. Ce s-ar fi întâmplat dacă în acest moment Monty Hall ar fi deschis Ușa 3 – una dintre ușile „voastre” – și ar fi fost o capră în spatele ei? Ți-ar zdruncina acest fapt încrederea în decizia ta? Desigur că nu. Dacă mașina s-ar ascundea în spatele Ușii 3, Monty Hall ar deschide Ușa 2! Nu ți-ar arăta nimic.

Atunci când jocul este jucat conform unui scenariu knock-off, Monty Hall chiar îți oferă de ales între ușa pe care ai specificat-o la început și cele două uși rămase, dintre care una ar putea fi o mașină. Când Monty Hall deschide ușa în spatele căreia se ascunde capra, pur și simplu îți face o favoare arătându-ți care dintre celelalte două uși nu este mașina. Aveți aceleași probabilități de câștig în ambele scenarii de mai jos.

1. Selectând Ușa # 1, apoi acceptând să „comutați” la Ușa # 2 și Ușa # 3 chiar înainte ca orice ușă să fie deschisă.
2. Selectând Ușa # 1, apoi acceptând „comutați” la Ușa # 2 după ce Monty Hall vă arată capra din spatele Ușii # 3 (sau alegerea Ușii # 3 după ce Monty Hall vă arată capra din spatele Ușii # 2).

În ambele cazuri, renunțarea la decizia inițială vă oferă avantajul a două uși față de una și, astfel, vă puteți dubla șansele de câștig de la ⅓ la ⅔.

A treia opțiune a mea este o versiune mai radicală a aceleiași intuiții de bază. Să presupunem că Monty Hall îți cere să alegi una dintre cele 100 de uși (în loc de una dintre trei). După ce faci asta, să spunem, arătând spre Ușa # 47, el deschide cele 98 de uși rămase, care vor dezvălui caprele. Acum doar două uși rămân închise: Ușa ta nr. 47 și alta, de exemplu, Ușa nr. 61. Ar trebui să renunți la alegerea ta inițială?

Desigur ca da! Există o șansă de 99% ca mașina să fie în spatele uneia dintre ușile pe care nu le-ați ales la început. Monty Hall ți-a făcut politețe deschizând 98 dintre aceste uși, nu era nicio mașină în spatele lor. Astfel, există doar o șansă de 1 din 100 ca alegerea ta inițială (Ușa # 47) să fie corectă. În același timp, există o șansă de 99 din 100 ca alegerea ta inițială să fie greșită. Dacă da, atunci mașina se află în spatele ușii rămase, adică ușa nr. 61. Dacă doriți să jucați cu probabilitatea de a câștiga de 99 de ori din 100, atunci ar trebui să „treceți” la ușa nr. 61.

Pe scurt, dacă trebuie să jucați vreodată Let’s Make a Deal, cu siguranță va trebui să vă întoarceți la decizia inițială atunci când Monty Hall (sau oricine îl va înlocui) vă va oferi de ales. O concluzie mai universală din acest exemplu este că presupunerile tale intuitive despre probabilitatea anumitor evenimente te pot induce uneori în eroare.