Problema despre iepuri a matematicianului medieval Leonardo Fibonacci

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 04:09

Calculați ce urmași va da o pereche de animale până la începutul anului viitor.

Leonardo Fibonacci a fost un matematician medieval remarcabil. Se crede că el a fost cel care a introdus cifrele arabe în uz. În Cartea Abacului, o lucrare care expune și promovează aritmetica zecimală, Fibonacci prezintă celebra sa problemă despre iepuri. Încercați să o rezolvați.

La începutul lunii ianuarie, o pereche de iepuri nou-născuți (masculi și femele) au fost așezați într-un tarc, îngrădiți pe toate părțile. Câte perechi de iepuri vor produce până la începutul anului viitor? Este necesar să se țină cont de următoarele condiții:

• Iepurii ajung la maturitatea sexuală la două luni după naștere, adică până la începutul celei de-a treia luni de viață.
• La începutul fiecărei luni, fiecare cuplu matur sexual dă naștere unei singure perechi.
• Animalele se nasc întotdeauna în perechi „o femelă + un mascul”.
• Iepurii sunt nemuritori, prădătorii nu îi pot mânca.

Să vedem cum crește numărul de iepuri în primele șase luni:

Luna 1. O pereche de iepuri tineri.

Luna 2. Mai există o pereche originală. Iepurii nu au ajuns încă la vârsta fertilă.

Luna 3. Două perechi: cea originală, ajunsă la vârsta fertilă + o pereche de iepuri tineri pe care i-a născut.

Luna 4. Trei perechi: o pereche originală + o pereche de iepuri pe care i-a născut la începutul lunii + o pereche de iepuri care s-au născut în luna a treia, dar nu au ajuns încă la pubertate.

Luna 5. Cinci cupluri: un cuplu original + un cuplu născut în luna a treia și ajuns la vârsta fertilă + două cupluri noi pe care le-au născut + un cuplu care s-a născut în luna a patra, dar nu a ajuns încă la maturitate.

Luna 6. Opt cupluri: cinci cupluri de luna trecută + trei cupluri nou-născute. etc.

Pentru a fi mai clar, să scriem datele primite în tabel:

Dacă examinați cu atenție tabelul, puteți identifica următorul model. De fiecare dată numărul de iepuri prezenți în luna a n-a este egal cu numărul de iepuri din luna precedentă (n - 1), însumat cu numărul de iepuri nou născuți. Numărul lor, la rândul său, este egal cu numărul total de animale din luna (n - 2) (care a fost acum două luni). De aici puteți deriva formula:

F = F_{n - 1}+ F_{n - 2}, unde F - numărul total de perechi de iepuri în luna a n-a, F_{n - 1} este numărul total de perechi de iepuri din luna anterioară, iar F_{n - 2} - numărul total de perechi de iepuri în urmă cu două luni.

Să numărăm numărul de animale în următoarele luni care îl folosesc:

Luna 7. 8 + 5 = 13.

Luna 8. 13 + 8 = 21.

Luna 9. 21 + 13 = 34.

Luna 10. 34 +21 = 55.

Luna 11. 55 + 34 = 89.

Luna 12. 89 + 55 = 144.

Luna 13 (începutul anului viitor). 144 + 89 = 233.

La începutul lunii a 13-a, adică la sfârșitul anului, vom avea 233 de perechi de iepuri. Dintre aceștia, 144 vor fi adulți și 89 vor fi tineri. Secvența rezultată 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 se numește numere Fibonacci. În ea, fiecare număr final nou este egal cu suma celor două anterioare.

Afișează răspunsul Ascunde răspuns